Статистический анализ выборок курсов валют с помощью ранговых критериев

Аннотация

М.А.Власов

Дата поступления статьи: 30.04.2013

В статье анализируется возможность применения ранговых критериев для статистического анализа двух выборок. Рассматриваются критерии Вилкоксона, Ван дер Вардена и Манна-Уитни для проверки гипотезы о совпадении центральных тенденций сравниваемых выборок, критерий Сиджела-Тьюки для проверки гипотезы о равенстве размахов варьирования и критерий Колмогорова-Смирнова для проверки гипотезы о равенстве законов распределения. Анализ проводится на данных о курсах доллара США в различных банках.

Ключевые слова: статистика, ранг, выборка, гипотезы статистические, критическое значение, нормальное распределение, сопряжённые пары

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Одна из самых обычных задач в математической статистике – это задача о сравнении двух выборок. В отличие от обычных критериев [1,8], использование ранговых критериев не накладывает никаких ограничений на тип распределения случайной величины. В ранговых критериях можно различать три группы. Критерии первой группы проверяют гипотезу о совпадении центральных тенденций сравниваемых совокупностей, второй-  гипотезу о равенстве размахов варьирования, третьей- гипотезу о равенстве законов распределения[1]. Нулевая гипотеза для критериев первой группы формулируется как H₀: _ = _ , где _  и _ - характеристики центров распределения случайных величин  и  соответственно, реализациями которых являются  выборочные значения x и y. Альтернативами будут: H₁:  _ ≠ _;  H₂:  _ > _;  H₃: _ < _ .

Критерий Вилкоксона

Пусть имеются две выборки: x₁, x₂,… x_m и y₁, y₂,… y_n , причем их объёмы не обязательно должны быть одинаковыми. Объединим обе выборки в одну и упорядочим её. В качестве меры близости центральных тенденций двух выборок можно взять сумму рангов значений, принадлежащих каждой исходной выборке. Эта величина называется статистикой (критерием) Вилкоксона. Итак, имеем две величины:

В том случае, если объёмы выборок одинаковы, с критическим значением сравнивается меньшая сумма рангов. Нулевая гипотеза отвергается, когда  W_x(или W_y)<W() , где W()-критическое значение статистики Вилкоксона. Для выборок с неодинаковыми объёмами вычисляют “дополнение”[1,6].

В тех случаях, когда выборка образована значениями случайной величины с нормальным распределением, лучше воспользоваться более чувствительным критерием, а именно Х-критерием Ван дер Вардена[1,5].

Критерий Ван дер Вардена

Пусть имеются две выборки: x₁, x₂,… x_m и y₁, y₂,… y_n. Проделаем ту же процедуру, что и в случае критерия Вилкоксона. Разделим теперь ранги значений на N+1, где N=n+m, и вычислим сумму Значения X_x и X_y различаются лишь по знаку, поэтому удобнее  рассчитывать статистику для выборки меньшего объёма.  В зависимости от альтернативы нулевая гипотеза отвергается с уровнем значимости , если |X|>X()  для альтернатив H₂ и H₃ и если |X|>X(2) для альтернативы  H₁.  

Критерий Манна-Уитни

Для проверки гипотезы сдвига Манн и Уитни предложили ранговый критерий, основанный на статистике [2]:

Если U₁()≤U≤ U₂(), гипотеза сдвига отклоняется (U₁() и U₂()- критические значения, берущиеся из таблицы).

Статистический анализ часто проводится в банковских операциях[7,9,10].

Рассмотрим примеры и применим ранговые критерии к сравнению двух выборок x и y-курсов валют за два соседних дня в девяти коммерческих банках. Были исследованы четыре базовых примера:

1. Курсы продажи доллара США за 17-18.12.2003. При этом курс  

Центрального Банка России(ЦБ) уменьшился, значит следует ожидать отклонение гипотезы о равенстве центральных тенденций двух выборок.

2. Курсы продажи доллара за 25-26.12.2003. В эти два дня курс ЦБ не изменился, следовательно нужно ожидать подтверждение нулевой гипотезы.

3. Курсы покупки доллара за 17-18.12.2003.

4. Курсы покупки доллара за 25-26.12.2003.(См.таблицу)

Применение к примерам 1-4 критериев дало следующие результаты:

1) Меньшая сумма рангов W=53,5<W(), X=5,22> X(),U=8≤ U₁() для всех . Нулевая гипотеза отвергается. 2) W=80>W(), X=0,631< X(),U₁(()≤U=26≤ U₂()для всех . Нулевая гипотеза не отвергается. 3) W=70,5>W(),X=2,79< X(),U₁()≤U=24≤ U₂()для всех . Нулевая гипотеза не отвергается.

4) W=80,5>W(),X=0,844< X((),U₁()≤U=34≤ U₂() для всех . Нулевая гипотеза не отвергается. Критические значения брались из таблиц [1,2].
Распределения могут отличаться не только средним значением, но и  разбросом, в качестве меры которого обычно выступает дисперсия.  Нулевая гипотеза для критериев второй группы формулируется так:

в предположении, что центры распределения практически совпадают.

Модификация Сиджела-Тьюки критерия Вилкоксона

Поступим с выборками x и y так же, как и в случае критерия Вилкоксона. Ранги после этого определим по правилу чередования [4]. Обозначим S_x и S_y суммы рангов для выборок x и y соответственно. Пусть S- меньшая из сумм S_x и S_y и S’=min(m,n)(N+1)-S. (Здесь N=n+m).  Нулевая гипотеза отвергается , если S и S’ оказываются меньше критического значения W() для статистики Вилкоксона. Применение к примерам 1-4 критерия Сиджела-Тьюки дало следующие результаты:

1) S_x=75, S_y=96, S=75, S’=96> W() для всех . Нулевая гипотеза не отвергается. 2) S_x=98, S_y=73, S=73, S’=98> W() для всех . Нулевая гипотеза не отвергается. 3) S_x=67, S_y=104, S=67, S’=104> W() для всех . Нулевая гипотеза не отвергается. 4) S_x=89, S_y=82, S=82, S’=89> W() для всех . Нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза для критериев третьей группы формулируется как

Критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий основан на сравнении рядов накопленных частот обеих совокупностей. Пусть F_j(x) и F_j(y)- накопленные относительные частоты выборок x и y; где j- номер значения в общем вариационном ряду. Максимальная по величине разность   может служить мерой близости двух распределений. При больших объёмах совокупностей (m,n>100) если D больше критического значения D(), то нулевая гипотеза о равенстве распределений отвергается. Если объёмы совокупностей малы, приходится вводить поправки [3,6]. Применение к примерам 1-4 критерия Колмогорова-Смирнова дало везде ожидаемые результаты. Таким образом можно сделать следующий вывод после применения всех ранговых критериев: лишь для примера 3 все критерии первой группы дали неверный результат. Во всех остальных случаях все критерии подтвердили ожидания.

Литература

1. Благовещенский Ю.Н., Самсонова В.П., Дмитриев Е.А. Непараметрические методы в почвенных исследованиях.  [Текст]: Монография/

2. Ю.Н.Благовещенский и др. - Москва: ”Наука”, 1987. – 98 с.

3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. [Текст]: Монография/ А.И.Кобзарь -  Москва: Физматлит, 2006, - 816 с.

4. Хеттманспергер Т. Статистические выводы,основанные на рангах. [Текст]: Монография/ Т.Хеттманспергер - Москва:”Финансы и статистика”, 1987, - 333 с.

5. Орлов А.И. Эконометрика. [Текст]: Монография/А.И.Орлов - Москва: Экзамен, 2006, - 576 с.

6. Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с. Hajek J., Sidak Z., Sen K. P. Theory of rank tests(second edition). — Academic Press, 1999. - 450 p.

7. Пучков Е.В. Разработка системы поддержки принятия решений для управления кредитными рисками банка. [Электронный ресурс]// «Инженерный вестник Дона», 2011, №1. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2011/377 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

8. Галушка В.В., Фатхи В.А. Формирование обучающей выборки при использовании искусственных нейронных сетей в задачах поиска ошибок баз данных. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013, №2. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1597 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.

9. Волосатова Т.А. Явление агрессивной скупки акций на российском финансовом рынке. [Текст] // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции ППС и молодых учёных / Рост. гос. экон. ун-т “РИНХ”-Ростов н/Д., 2009. – С.142-146.

10. Данекянц А.Г. Различные модели осуществления скупки акций. [Текст] // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции ППС и молодых  учёных / Рост.гос.экон.ун-т “РИНХ”-Ростов н/Д., 2009. – С.146-149.