Исследование динамики волнового фронта фокусирующего излучателя ультразвука

Аннотация

А.М. Гаврилов, Г.М. Грачева

Проведен анализ поля сферически сходящегося звукового пучка. В качестве параметра, отражающего эволюцию волны, использована кривизна поверхности фронта. Получены выражения, позволяющие определять величину кривизны фазового фронта в звуковых пучках с разными амплитудными распределениями. Приведены осевые и поперечные распределения кривизны фронта в фокусирующем пучке с гауссовым и равномерным распределениями амплитуды. Отмечено качественно разное влияние кривизны поверхности излучателя  на динамику волнового фронта в случаях ,  и . Приведены аналогичные характеристики для плоского

Ключевые слова: Фокусирующий излучатель; дифракция; кривизна фазового фронта

В работе рассматривается подход к определению кривизны фронта в распространяющемся звуковом пучке [1 – 4], который дает количественную оценку происходящей эволюции волны. В общем случае, когда необходимо определить кривизну фронта волны в произвольной точке пространства, воспользуемся понятием кривизны линии [2]. Тогда кривизна фронта волны в пучке запишется

(1)

где ,  – поперечная и осевая координаты;  – пространственное «запаздывание» фазы дифрагирующей волны относительно плоской; . Для эталонного случая в виде гауссового пучка [1, 3] кривизну можно записать:

(2)

Здесь  – безразмерная кривизна фронта;  – радиус кривизны фронта;  и  – нормированные координаты;  – радиус излучателя;  – длина области дифракции Френеля;  – безразмерная кривизна рабочей поверхности излучателя;  – радиус рабочей поверхности излучателя.
Кривизна фронта в пучке с равномерным амплитудным распределением

(3)
,    .

Функции , ,  находятся как аргумент комплексной амплитуды волны из решения параболического уравнения дифракции [4].

Осевые распределения безразмерной кривизны волны  при разных значениях кривизны поверхности излучателя  приведены на рис. 1. Выделим три качественно разных случая: ,  и , рис.2.

Для плоского излучателя () осевое распределение кривизны фронта волны показано кривой 1 на рис. 1 [1,3]. Здесь волна трансформируется из квазиплоской в сферически расходящуюся волну, последовательно проходя этапы , , , , , рис. 2–а. Вблизи излучателя форма волны () плоская. По мере распространения фронт под действием дифракции искривляется (), достигая на расстоянии  максимальной кривизны (). С прекращением дифракции () волновой фронт распрямляется (этап ), стремясь в процессе сферического расхождения волны принять на локальном участке плоскую форму ().
Начальный этап ( или ) эволюции волны фокусирующего излучателя ( ) проходит под влиянием геометрической сходимости, рис. 2–(б, в). При этом слабо сходящимся пучкам () свойственно преобладание вклада дифракции над геометрической сходимостью, здесь волна проходит этапы , , , , , , рис. 2–б. Функция  начинается значением , проходит через нулевое значение со сменой своего знака и по достижении максимума монотонно стремится к нулю, кривые 2 – 5 на рис. 1. Область фокуса пучка совпадает с нулевым значением кривизны, где волна имеет плоский фазовый фронт ().
Сильно сходящиеся пучки () отличаются доминированием геометрической сходимости над дифракцией, в результате формируются вогнутый () и выпуклый () фронты максимальной кривизны. В функции  появляются экстремумы в области отрицательных значений , кривые 6 и 7, рис. 1. Отметим, что в дальней области пучка ( ) зависимости  повторяются для всех , что соответствует изменениям фронта волны  и , рис. 2–(а–в).
Поперечные распределения кривизны волны  в гауссовых пучках с волновым размером  = 10 для случаев ,  и  показаны на рис. 3. Изменения  демонстрируют отмеченные выше закономерности. Так в случае  этапу сферической расходимости волны предшествует этап нарастания кривизны фронта (), кривая 4, рис. 3–а. В отличие от плоского излучателя (), трансформация волны фокусирующего излучателя сопровождается сменой знака кривизны ее фронта. На расстояниях между излучателем и фокусом волна имеет сходящийся фронт, здесь . В точке фокуса, положение которой на оси пучка меняется с величиной , волна принимает плоский фазовый фронт , кривая 3 на рис. 3–б и кривая 4 на рис. 3–в. За фокусом кривизна фронта становится положительной (), что соответствует расходящейся волне.

а)	б)	в)
Рис. 2.  Пространственные изменения формы волны в зависимости от

Распределения кривизны фронта волны вдоль оси фокусирующего излучателя с равномерным возбуждением приведены на рис. 4. В отличие от гауссового пучка, в зависимостях  при  в области дифракции Френеля () присутствуют бесконечные разрывы (т.е. ), координаты которых соответствуют четному числу фазовых зон на поверхности излучателя. Эта особенность связана с полной компенсацией вкладов фазовых зон и сопровождается появлением на оси пучка локального минимума с нулевой амплитудой. В местах прохождения зависимостью  нулевого значения форма участка фронта приосевой области пучка изменяется постепенно, в окрестности этих точек в волне формируется плоский участок фронта () и на оси пучка появляется максимум амплитуды. Это положение соответствует нечетному числу фазовых зон. С увеличением  трансформация фронта многократно повторяется, после чего на расстоянии  этот процесс вырождается в монотонное уменьшение кривизны до нуля и не зависит от распределения амплитуды на излучателе и величины .
На рис. 5 приведены угловые распределения кривизны  и характеристика направленности  фокусирующего излучателя при . Видно, что в узком интервале значений  форма волны претерпевает сильные изменения, которые сопровождаются трансформацией фронта с выпуклого на вогнутый и наоборот. С ростом  фиксируются положения локальных осцилляций в характеристике , кривые 4 и 5, которые совпадают с границами лепестков .